Teoremi relativi al calcolo integrale

Primo teorema fondamentale del calcolo

Note

Sia integrabile (), e sia Una primitiva tale che . Allora:

Tip

Dimostrazione

Sia una partizione di . Abbiamo che: Applicando il teorema di Lagrange alla funzione su ogni intervallo . Avremo che: Siccome è primitiva di , abbiamo che : Notiamo che: E quindi: E quindi per definizione dell'integrale superiore e inferiore: Poiché per ipotesi è integrabile, si ha: Abbiamo quindi:

Teorema della media integrale

Note

Sia allora tale che: Cioè:

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass valori minimo e di massimo assoluti: Di conseguenza:

Secondo teorema fondamentale del calcolo

Note

Sia e definiamo la funzione integrale di : Allora:

  1. Se è limitata allora è continua
  2. Se è continua su allora è derivabile in e cioè è primitiva di
Dimostrazione
Prima clausola

Sia è limitata, allora tale che: Fissiamo . Sia quindi : Sapendo che: Abbiamo che:

Seconda clausola

Siano , fissato e : Per il teorema della media integrale abbiamo che:
Per un opportuno punto tra e : E quindi: Per la continuità di : E quindi: E di conseguenza: