Tecniche di integrazione

Proprietà

  1. Linearità:
    Sia e:
  2. Positività:
  3. Monotonia:
  4. Annullamento:
  5. Additività:
  6. Orientamento:

Integrali fondamentali notevoli

Integrazione per parti

Note

Siano e , allora:

Scelta di integrazione e derivazione:

Si usa il metodo LINATE, dando priorità a:

  1. L: Logaritmi
  2. I: Trigonometriche inverse
  3. N: Numeriche
  4. A: Polinomio algebrico
  5. T: Trigonometriche
  6. E: Esponenziali
Metodo DI

Un ottima risorsa per integrare per parti è il metodo DI, è possibile approfondirlo qui

Dimostrazione

Partendo dalla regola di Leibniz di derivazione: Si integrano entrambi i membri dell'equazione di Leibniz:

Integrazione per sostituzione

Note

Siano e derivabile e strettamente monotona e crescente. Fissato e , allora vale la seguente proprietà:

Dimostrazione

Sia primitiva di e poniamo , in questo modo: Per il primo teorema del calcolo integrale:

Integrali di funzioni razionali fratte

Si elencano i vari metodi di risoluzione di funzioni razionali fratte:

Grado del numeratore maggiore o uguale al denominatore
  1. Si esegue la divisione polinomiale
  2. Si riscrive la frazione come
  3. Si risolve l'integrale scomponendolo in più integrali
Grado Numeratore minore del denominatore
Esempio delta maggiore di
  1. Considero l'integrale
  2. Riscriviamo la frazione come:
  3. Risolvendo il sistema, risolvo poi normalmente gli integrali:
Esempio delta uguale a

Come nell'esempio precedente:

  1. Considero l'integrale
  2. Riscriviamo la frazione, e risolviamo per e :
  3. Risolvendo il sistema, risolvo poi normalmente gli integrali:
Esempio delta minore di
  1. Considero l'integrale
  2. Cerco di ricondurlo alla formula generale dell'arcotangente:

Area delimitata da funzioni

Note

Per calcolare l'area delimitata dei grafici di e nell'intervallo vale:
In caso il segno di una funzione rispettivamente all'altra vari, si scompone l'integrale in più integrali, per esempio se la funzione cambia nel punto : Pasted image 20240520105750.png