Teoremi relativi al calcolo integrale

Primo teorema fondamentale del calcolo

Note

Sia integrabile (), e sia

Una primitiva tale che . Allora:

Tip

Dimostrazione

Sia una partizione di . Abbiamo che:

Applicando il teorema di Lagrange alla funzione su ogni intervallo . Avremo che:

Siccome è primitiva di , abbiamo che :

Notiamo che:

E quindi:

E quindi per definizione dell’integrale superiore e inferiore:

Poiché per ipotesi è integrabile, si ha:

Abbiamo quindi:

Teorema della media integrale

Note

Sia allora tale che:

Cioè:

Dimostrazione

Per il teorema di Weierstrass valori minimo e di massimo assoluti:

Di conseguenza:

Secondo teorema fondamentale del calcolo

Note

Sia e definiamo la funzione integrale di :

Allora:

1. Se è limitata allora è continua
2. Se è continua su allora è derivabile in e cioè è primitiva di

Dimostrazione

Prima clausola

Sia è limitata, allora tale che:

Fissiamo . Sia quindi :

Sapendo che:

Abbiamo che:

Seconda clausola

Siano , fissato e :

Per il teorema della media integrale abbiamo che:

Per un opportuno punto tra e :

E quindi:

Per la continuità di :

E quindi:

E di conseguenza: