Analisi matematica 1

Tecniche di integrazione

3 minuti

Proprietà

  1. Linearità: Sia e:
à 
\begin{cases}
f\in\mathcal{R}(I) \\
f\geq0

\end{cases}\Longrightarrow \int_{I}f\text{ dx}\geq0 $$ 3. Monotonia:

\begin{cases}
f\in C(I)\subset\mathcal{R}(I) \\
f\geq0 \\
\int_{I}f=0

\end{cases}\Longrightarrow \int_{I}f\geq0\text{ su }[a,b] $$ 5. Additività:

\int^{b}_{a}f=-\int^{a}_{b}f\quad\forall a,b
$$

Integrali fondamentali notevoli

Integrazione per parti

Note

Siano e , allora:

Scelta di integrazione e derivazione:

Si usa il metodo LINATE, dando priorità a:

  1. L: Logaritmi
  2. I: Trigonometriche inverse
  3. N: Numeriche
  4. A: Polinomio algebrico
  5. T: Trigonometriche
  6. E: Esponenziali

Metodo DI

Un ottima risorsa per integrare per parti è il metodo DI, è possibile approfondirlo qui

Dimostrazione

Partendo dalla regola di Leibniz di derivazione:

Si integrano entrambi i membri dell’equazione di Leibniz:

Integrazione per sostituzione

Note

Siano e derivabile e strettamente monotona e crescente. Fissato e , allora vale la seguente proprietà:

Dimostrazione

Sia primitiva di e poniamo , in questo modo:

Per il primo teorema del calcolo integrale:

Integrali di funzioni razionali fratte

Si elencano i vari metodi di risoluzione di funzioni razionali fratte:

Grado del numeratore maggiore o uguale al denominatore
  1. Si esegue la divisione polinomiale
  2. Si riscrive la frazione come
You can't use 'macro parameter character #' in math mode \int \underbrace{P(x)}_\text{risultato della divisione}+\underbrace{ \frac{R(x)}{D(x)}}_\text{resto fratto divisore}\text{ d}x $$ 3. Si risolve l'integrale scomponendolo in più integrali ##### Grado Numeratore minore del denominatore >[!example] Esempio delta maggiore di $0$ > >1. Considero l'integrale >$$ >\int\frac{x-1}{x^{2}+5x+6}\text{ d}x >$$ >2. Riscriviamo la frazione come: >$$ >\frac{x-1}{x^{2}+5x+6}= \frac{A}{x+3}+ \frac{B}{x+2}=\frac{Ax+2A+Bx+3B}{(x+3)(x+2)} >$$ >$$ >x-1=x(A+B)+2A+3B\Longrightarrow\begin{cases} >A+B=1 \\ >2A+3B=-1 >\end{cases} >$$ >3. Risolvendo il sistema, risolvo poi normalmente gli integrali: >$$ >\int \frac{A}{x+3}\text{ d}x+\int\frac{B}{x+2}\text{ d}x >$$ >[!example] Esempio delta uguale a $0$ > >Come nell'esempio precedente: >1. Considero l'integrale >$$ >\int\frac{x+5}{(x+3)^{2}}\text{ d}x >$$ >2. Riscriviamo la frazione, e risolviamo per $A$ e $B$: >$$ >\frac{x+5}{(x+3)^{2}}=\frac{A}{(x+3)^{2}}+\frac{B}{x+3}=\frac{A+Bx+3B}{(x+3)^{2}} >$$ >3. Risolvendo il sistema, risolvo poi normalmente gli integrali: >$$ >\int\frac{A}{(x+3)^{2}}\text{ d}x+\int \frac{B}{x+3}\text{ d}x >$$ >[!example] Esempio delta minore di $0$ > >1. Considero l'integrale >$$ >\int\frac{1}{x^{2}-6x+10}\text{ d}x >$$ >2. Cerco di ricondurlo alla formula generale dell'arcotangente: >$$ >\int\frac{f'(x)}{[f(x)]^{2}+n^{2}}\text{ d}x= \frac{1}{n}\arctan\left( \frac{x}{n}\right)+c >$$ >$$ >\int\frac{1}{x^{2}-6x+10}\text{ d}x=\int\frac{1}{(x-3)^{2}+1}=\arctan(x-3)+c >$$ ### Area delimitata da funzioni >[!note] > >Per calcolare l'area delimitata dei grafici di $f(x)$ e $g(x)$ nell'intervallo $[a,b]$ vale: >$$ >\int^{b}_{a}[f(x)-g(x)]\text{ d}x\qquad\iff\qquad f(x)\geq g(x)\quad\forall x\in[a,b] >$$ >In caso il segno di una funzione rispettivamente all'altra vari, si scompone l'integrale in più integrali, per esempio se la funzione cambia nel punto $B$: >$$ >\int_{a}^{c}|f(x)-g(x)|\text{ d}x=\int_{a}^{b}|f(x)-g(x)|\text{ d}x+\int_{b}^{c}|f(x)-g(x)|\text{ d}x >$$ >![[Pasted image 20240520105750.png]]