Calcolo integrale

Note

L’integrale rappresenta il valore dell’area sottesa dal grafico della funzione in un dato intervallo.

Partizione di intervallo

Note

Sia , una partizione è una famiglia finita di intervalli tutti contenuti () tali che con contiene al più un punto.

Ciò significa che e o sono disgiunti o si “toccano” solo in un punto.

Integrale inferiore e superiore

Somme inferiori

Sia limitata, sia , la somma inferiore è definita come l’area del più piccolo rettangolo sotto a su :

Somme superiori

Sia limitata, sia , la somma superiore è:

Si deduce che:

Di conseguenza:

Integrale inferiore e superiore di in

L’integrale inferiore è la migliore approssimazione per difetto dall’alto:

Viceversa, l’integrale superiore è la migliore approssimazione per eccesso dal basso:

Integrale di Riemann

Note

Se l’integrale inferiore coincide con quello superiore, ovvero , allora si dice che è integrabile (secondo Riemann) su e il valore è detto integrale di su . Si scrive come:

Ed è l’area del sottografico di su .

Example

Non è integrabile la funzione di Dirichlet che assume valore se l’argomento è razionale, altrimenti se è irrazionale :

Si ha che , e quindi la funzione non è integrabile.

Primitiva di una funzione

Note

Sia una funzione. Una funzione derivabile nell’intervallo è una primitiva (o antiderivata) di se:

Due funzioni primitive di , differiscono di una costante su . Se è costante su si dice che le curve sono parallele (o coincidenti se la distanza è ). Per indicare una famiglia di primitive si usa la notazione: