Teoremi per lo studio di funzioni

Teorema di derivabilità con asintotico

Note

Siano e tali che: Allora è derivabile in se e solo se è derivabile nello stesso punto, e in tal caso si ha che:

Dimostrazione

Sappiamo che: Significa anche: Riscriviamo quindi il rapporto incrementale di e lo trasformiamo nel rapporto incrementale di :

Lemma di Fermat

Note

Considero una funzione e un punto di estremo per una funzione (massimo o minimo) . se la funzione è derivabile in , allora la sua derivata vale .

Corollario del teorema di fermat

Se , i suoi punti estremi sono da cercarsi nell'insieme , dove sono insiemi finiti:

Dimostrazione

Per semplicità supponiamo punto di massimo assoluto o globale: Se allora: Analogamente, se allora: Quindi:

Teorema di Lagrange

Note

Se è derivabile in allora:
Pasted image 20240508124214.png

Dimostrazione

Consideriamo una funzione tale che:
Osserviamo che è un polinomio di grado , di conseguenza il suo grafico è una retta. Il grafico di è la retta secante a passante per i suoi estremi e , infatti: Consideriamo adesso la funzione: è una funzione continua e derivabile su , inoltre .

Per il teorema di Weierstrass punti di minimo e massimo globale per :

Caso 1

Nel caso in cui e sono gli estremi di , abbiamo che e quindi: Siccome ogni punto è punto di Lagrange.

Caso 2

Nel caso in cui almeno uno tra e è in , sia tale punto, e per il lemma di Fermat: E siccome abbiamo che è punto di lagrange.

Teorema di Rolle

Note

Considerata una funzione tale che , allora:
Pasted image 20240508124445.png

Test della monotonia

Note

Sia una funzione derivabile in , allora:

Dimostrazione

Consideriamo solo il caso di crescente in : E di conseguenza: E per il teorema di permanenza del segno:

Se invece , fissiamo e applichiamo il teorema di Lagrange a sul : E quindi .

Corollario della caratterizzazione delle funzioni costanti

Considero costante, allora la sua derivata prima .

Corollario

Se con unione di intervalli e derivabile in , allora se e solo se è localmente costante (constante nell'intervallo o nel caso limite in un punto).

Criterio di convessità/concavità

Note

Sia volte derivabile in , allora se: èèI punti attorno a cui cambia concavità si chiamano punti di flesso.

Dimostrazione

Consideriamo solo il primo caso.
Per l'ipotesi, sfruttando il teorema di Taylor con resto di Lagrange: Dove è compreso tra e : Siccome per ipotesi si ha: E di conseguenza: