Teorema di derivabilità con asintotico
Note
Siano
e tali che: Allora
è derivabile in se e solo se è derivabile nello stesso punto, e in tal caso si ha che:
Dimostrazione
Sappiamo che:
Significa anche:
Riscriviamo quindi il rapporto incrementale di
e lo trasformiamo nel rapporto incrementale di :
Lemma di Fermat
Note
Considero una funzione
e un punto di estremo per una funzione (massimo o minimo) . se la funzione è derivabile in , allora la sua derivata vale .
Corollario del teorema di fermat
Se
, i suoi punti estremi sono da cercarsi nell’insieme , dove sono insiemi finiti:
Dimostrazione
Per semplicità supponiamo
punto di massimo assoluto o globale: Se
allora: Analogamente, se
allora: Quindi:
Teorema di Lagrange
Note
Se
è derivabile in allora:
Dimostrazione
Consideriamo una funzione
tale che: Osserviamo che
è un polinomio di grado , di conseguenza il suo grafico è una retta. Il grafico di è la retta secante a passante per i suoi estremi e , infatti: Consideriamo adesso la funzione:
è una funzione continua e derivabile su , inoltre . Per il teorema di Weierstrass
punti di minimo e massimo globale per : Caso 1
Nel caso in cui
e sono gli estremi di , abbiamo che e quindi: Siccome
ogni punto è punto di Lagrange. Caso 2
Nel caso in cui almeno uno tra
e è in , sia tale punto, e per il lemma di Fermat: E siccome
abbiamo che è punto di lagrange.
Teorema di Rolle
Note
Considerata una funzione tale che
, allora:
Test della monotonia
Note
Sia
una funzione derivabile in , allora:
Dimostrazione
Consideriamo solo il caso di
crescente in : E di conseguenza:
E per il teorema di permanenza del segno:
Se invece
, fissiamo e applichiamo il teorema di Lagrange a sul : E quindi
.
Corollario della caratterizzazione delle funzioni costanti
Considero
costante, allora la sua derivata prima .
Corollario
Se
con unione di intervalli e derivabile in , allora se e solo se è localmente costante (constante nell’intervallo o nel caso limite in un punto).
Criterio di convessità/concavità
Note
Sia
volte derivabile in , allora se: I punti
attorno a cui cambia concavità si chiamano punti di flesso.
Dimostrazione
Consideriamo solo il primo caso. Per l’ipotesi, sfruttando il teorema di Taylor con resto di Lagrange:
Dove
è compreso tra e : Siccome per ipotesi
si ha: E di conseguenza: