Teorema di Taylor

Teorema di Taylor con resto di Peano

Sia derivabile in . Definiamo il suo polinomio di Taylor di ordine in (con ) come:

Allora esiste una funzione resto di ordine in tale che:

Cioè, il resto è di infinitesimo di ordine maggiore di :

Dimostrazione

Definiamo il resto come:

Così che . Risolvendo il limite:

Applicando quindi De L’Hôpital volte si ottiene:

Teorema di Taylor con resto di Lagrange

Note

Sia derivabile in :

1. Se fissato , allora esiste tra e :

2. Se con e , allora:

Formula di Stirling

Note

Sviluppi di Mc Laurin