Calcolo differenziale

Note

Considero una funzione , diremo che è derivabile in se:

Questo limite del rapporto incrementale prende il nome di derivata prima nel punto e si indica con .

Nel caso limite dove , il rapporto incrementale assume il valore della tangente dell’angolo formato dalla retta tangente alla curva in e l’asse .

La retta tangente è esprimibile come:

Lemma della funzione resto

Se è derivabile in , allora esiste , detta funzione resto o errore, tale che:

Dove:

Cioè è -esimo di ordine maggiore di per .

Dimostrazione

Definiamo :

Continuità delle funzioni derivabili

Note

Se una funzione è derivabile, allora sicuramente è anche continua:

Dimostrazione

Calcolo derivate con proprietà

Considero :

1. Costante:

2. Identità:

3. Parabola:

4. Seno:

5. Coseno:

Regole di calcolo delle derivate

Linearità

La combinazione lineare di funzioni derivabili è una funzione derivabile:

Regola di Leibniz

Quoziente

Derivata della funzione composta

Derivata della funzione inversa

Derivata di potenze

Derivate fondamentali

Derivate di ordine

Note

Se è volte derivabile in e la derivata di ordine , è a sua volta derivabile in , diremo che è derivabile e: